Site İçi Arama

Aşağıdaki formu kullanarak sitemizdeki yazılarda arama yapabilirsiniz.

Sonsuzluk 1 - Zenon ve Kalkülüs

Deniz Saraç

Sonsuzluk kavramı düşünce tarihinde çok yer kaplamış, antik dönemden beri filozoflar, matematikçiler, biliminsanları ve hatta teologlar tarafından sıklıkla konu edilmiş ve tartışmalarda mühimmat olarak kullanılmıştır. "Sonsuz gerileme" argümanları antik yunan felsefecilerinden günümüze değin bazı fikirleri çürütmek için öne sürülmüştür ve büyük ihtimalle sürülmeye devam edilecektir. Teologlar Tanrı'nın sonsuzluğunu anlamlandırmaya çalışmayı kendilerine görev bilmişlerdir. Bu ve bundan sonraki birkaç yazımda, bu önemli kavramı tarihsel ve çağdaş bilimsel boyutta incelemeye çalışacağım.

Düşünce tarihimizde bu kadar sık rastladığımız sonsuzluk fikrini günümüzde her zamankinden daha iyi anlayabiliyoruz. Leibniz ve Newton'un 17. yüzyıldaki çalışmaları sonucunda (ayrı ayrı) icat ettikleri kalkülüs, sonsuzluğun matematiksel boyutta incelenmesine ön ayak oldu. Çağdaşları L'Hospital ve 19. yüzyıldan Cantor gibi önemli matematikçiler sonsuzluk anlayışımızdaki gelişmeye önemli katkı sağladı. Sonsuzluk hakkındaki çağdaş kavrayışımızın, tüm zamanların en bilindik paradokslarından biriyle baş etmekte nasıl kullanılacağını inceleyelim.

Bahsettiğim paradoks Elealı Zenon'un hareketin imkansız olduğunu göstermek için kullandığı Dikotomi Paradoksu. Öncelikle Zenon'un böyle adeta delice bir pozisyonu neden savunduğu anlamak için paradoksun öne sürüldüğü bağlamı anlamaya çalışalım. Zenon milattan önce 5. yüzyılda yaşamıştı ve bir Parmenidesçiydi, yani düşünce ve mantık kurallarıyla gerçeği anlayabileceğimizi, öte yandan duyu organlarımız aracılığıyla hakkında fikir sahibi olduğumuzu sandığımız gerçekliğin aslında yanılgılarla dolu olduğuna inanıyordu. Bu yanılgıların arasında hareketin ve zamanın akışının gerçek olduğuna dair inançlarımız ve hatta var olanın tek bir bütün olmayıp farklı farklı parçalardan oluştuğuna dair düşüncemiz vardı. Zenon bu fikirleri desteklemek için hareketin imkansız olduğunu gösteren birkaç paradoks sunmuştu. Biz bu paradoksları Aristotelesin Fizik kitabında bahislerinin geçmesiyle öğrendik. Paradoksların bazılarındaki hatayı bulmak yüzyıllar aldı ki Dikotomi Paradoksu da bunlardan biriydi.

Dikotomi Paradoksu ismini basitçe kavranabilir bir fikirden alıyor: herhangi iki nokta arasındaki mesafe iki parçaya bölünebilir. Bu doğruysa, bu bölme işlemini tekrar tekrar, sonsuz defa uygulayabiliriz, yani herhangi iki nokta arasındaki uzaklık sonsuz adet küçük uzaklıktan oluşur. Ancak ne kadar küçük olsalar da sonsuz adet uzaklığı kat etmek için sonsuz zaman geçmesi gerekir. Öyleyse herhangi iki nokta arasında hareket etmek sonsuz zaman gerektirir; oysa bu başarması imkansız bir görevdir. Paradoks kısaca böyle özetlenebilir.

Paradoksun ilk kısmına (yani her uzunluğun sonsuza dek ikiye bölünebileceğine) bir itiraz fizikçilerden gelebilir. Zenon ve Parmenidesin çağdaşı Demokritos'un sezinlediği bir fikir vardı: uzayın ve maddenin sonsuza dek bölünemeyeceği, daha ziyade çok küçük bölünemez parçaların varlığın yapı taşı olduğu. Demokritos'un “Atomos” adını verdiği bu nesneler aslında günümüzde “atom” adıyla adlandırdığımız nesnelerin eşi değil, ne de olsa çağdaş fiziğin atomu bölünebiliyor. Ancak benzer bir kavram günümüzde mevcut, Planck uzunluğu. Yalnızca doğada bulunan sabitler kullanılarak ulaşılabilen birimlerden biri olan Planck uzunluğu, ölçülebilir en kısa zaman birimi (Planck zamanı) gibi diğer bazı birimlerle birlikte 1899 yılında Alman fizikçi Max Planck tarafından ileri sürüldü. Planck uzunluğu da çağdaş fizik tarafından bilinen doğal sabitler kullanılarak yapılacak en hassas ölçümün sonunda ulaşılabilecek en kısa uzunluk olarak adlandırılabilir. Eğer Planck uzunluğu hakkındaki bu kavrayışımız doğruysa, Dikotomi Paradoksuna göre her mesafenin sonsuza kadar ikiye bölünebileceğine itiraz edilebilir. Ancak bu itirazın iki eksik noktası Planck uzunluğu için kullanılan doğal sabitlerin günümüz fizik anlayışımız tarafından sınırlandırılmış olması ve ölçülebilecek en kısa uzunluk olmasına karşın bizim bilişsel yetilerimizden bağımsız olarak ölçülemeyen daha kısa uzunlukların olması ihtimali.

Paradoks'un asıl zayıflığı ikinci kısmında bulunan bir sezginin yanlışlığında gizli. Paradoksa göre sonsuz adet küçük ama farklı işi yapmak için sonsuz adet kısa zaman diliminin geçmesi gerekir. Sonsuz kısa zaman diliminin toplamı da sonsuz olacağı için işin tamamını yapmak sonsuz zaman alır. Ancak bu yanlış, yazının başında bahsettiğim kalkülüste kullanılan sonsuz seriler sayesinde biliyoruz ki sonsuz elemanın toplamından oluşan bir seri sonsuza ulaşmak zorunda değil. Tam da Dikotomi paradoksunun matematiksel ifadesi olan 1∕2 + 1∕4 + 1∕8 + ... toplamının değerinin sonsuza değil, sağduyumuza uygun şekilde 1'e ulaştığını biliyoruz. Kısacası, sonsuz adet küçük uzunluğu kat etmek için sonsuz adet küçük zaman dilimi geçmesi gerekiyor olabilir, ancak bu zaman dilimlerinin toplamı zorunlu olarak sonsuz değildir, sonuç bir tam sayı da olabilir. Paradoksta bulunan sezgi yanlıştır ve paradoks hareketin imkansızlığını kanıtlamada başarılı olamamıştır.

Çok açık bir şekilde doğru görünen bir olguya – hareketin mümkün olduğuna – karşı geliştirilen bir argümandaki zayıflığı bulmamız yaklaşık 2 bin yıl aldı ve bağımsız görünen bir düşünce alanındaki ileri görüşlü biliminsanlarının çalışmaları sonucunda edindiğimiz anlayış sayesinde üstesinden gelinebildi. Bu durumsa bilginin birikimsel yapısına ve felsefe, matematik gibi soyut disiplinlerin toplam bilgi birikimimize katkısına önemli bir örnek olarak eklenebilir.


Kaynakça:

http://www.fnal.gov/pub/today/archive/archive_2013/today13-11-01_NutshellReadMore.html

https://plato.stanford.edu/entries/zeno-elea/

https://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/infinity/infinity.pdf





01/03/2020



Önceki yazılar

Zaman - Newton ve Einstein (01/04/2020)